Wie Berechnet Man Den Wendepunkt

Der Wendepunkt eines Funktionsgraphen ist der Punkt, an dem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert. Entweder wechselt er von einer Links- in eine Rechtskurve oder wie in unserem Beispiel von einer Rechts- in eine Linkskurve. Der blaue Graph stellt hier die Funktion f(x) = x ³ + 4x ² mit einem Wendepunkt bei ten = – 4/3 dar.

Die Krümmung wird durch die 2. Ableitung beschrieben. Wenn diese ihr Vorzeichen ändert, as well gleich Cipher ist, liegt in der Stammfunktion ein Wendepunkt vor. Demnach lauten die Bedingungen für einen Wendepunkt wie folgt:

• Notwendige Bedingung: f "(x) = 0
• Hinreichende Bedingung: f "'(x) ≠ 0
  → wenn f "'(10) < 0, dann Links-rechts-Wendestelle
  → wenn f "'(10) > 0, dann Rechts-links-Wendestelle

Die rote Funktion in der Abbildung zeigt die sogenannte Wendetangente. Sie schneidet dice Stammfunktion genau an ihrem Wendepunkt. Außerdem entspricht ihre Steigung genau der Steigung der Stammfunktion am Wendepunkt.

Wendepunkt berechnen

Um den oder die Wendepunkte zu bestimmen, hält man sich am besten an folgende Kochrezept:

• Stammfunktion dreimal ableiten
• Notwendige Bedingung prüfen, also two. Ableitung gleich Goose egg setzen
  → wenn kein ten vorhanden, dann kein Wendepunkt
• Hinreichende Bedindung prüfen, also alle erhaltenen ten-Werte in 3. Ableitung einsetzen
  → wenn f "'(x)=0, dann kein Wendepunkt
• x-Werte in Stammfunktion einsetzen, um dazugehörige y-Werte zu erhalten

Beispiel

f(x) = ten ³ – 6x ² + 5x

1. Schritt
Stammfunktion dreimal ableiten

f ‚(x) = iiix ² – 1210 + 5
f "(10) = vix – 12
f "'(ten) = 6

two. Schritt
Notwendige Bedingung prüfen

f "(x) = 0
sixx – 12 = 0	| +1
sixx = 12	| :6
x = 2

→ potenzieller Wendepunkt liegt vor

three. Schritt
Hinreichende Bedingung prüfen
(Hinweis: Hier ist die 3. Ableitung eine Konstante und ergibt für jeden x-Wert deshalb 6.)

f "'(2) = half dozen ≠ 0
→ Wendepunkt liegt vor

optional:
f "'(ii) = 6 > 0 , also Rechts-links-Wendestelle

four. Schritt
y-Wert bestimmen

y = f(2)
y = 2ⁱⁱⁱ – 6·2² + five·2
y = -half dozen

→ Demnach liegt für die Funktion ein Wendepunkt bei ( 2 | -vi ) vor.

Wendetangente berechnen

Ist der Wendepunkt einer Funktion bekannt, kann die dazugehörige Wendetangente bestimmt werden. Die Wendetangente ist eine Gerade, demnach chapeau sie die Grade y = mx + b. Die Variable m ist die Steigung der Wendetangente und entspricht der Steigung der Stammfunktion am Wendepunkt. Dementsprechend erhalten wir m, indem wir den x-Wert des Wendepunkts in die 1. Ableitung einsetzen. Die Variable b ist der Schnittpunkt der Wendetangente mit der y-Achse und lässt sich mit Wissen um den Wendepunkt anschließend ebenfalls bestimmen.

Beispiel

thou(x) = mx + b

1. Schritt
thousand bestimmen, also x-Wert des Wendepunkts in ane. Ableitung einsetzen

m = f ‚(2)
m = three·ii² – 12·2 + 5

g = -7

two. Schritt
b bestimmen

Der Wendepunkt ist ein bereits bekannter Punkt auf der gesuchten Wendetangente. Setzen wir dessen Werte für x und y und den errechneten Wert für m in dice Geradengleichung ein, lässt sich diese nach b lösen.

y = mx + b

-half dozen = -7·2 + b
-six = -14 + b	| +14
eight = b

b = eight

3. Schritt
Wendetangente bilden

m(x) = mx + b
grand = -seven
b = 8

→ 1000(x) = -7x + 8

Sonderfall: Sattelpunkt

Ein Wendepunkt mit der Steigung Null heißt Sattelpunkt.

Beispiel

f(x) = 10 ³ – three10 ² + 3x

1. Schritt
Stammfunktion dreimal ableiten

f ´(ten) = iiix ^two – 6x +3
f ´´(x) = vix – 6
f ´´´(ten) = half-dozen

two. Schritt
Notwendige Bedingung prüfen

f "(10) = 0
sixx – six = 0
x = i

3. Schritt
Hinreichende Bedingung prüfen

f ´´´(one) = half dozen ≠ 0
→ Wendepunkt liegt vor

four. Schritt
y-Wert bestimmen

f(1) = i³ – 3·i^two + three·1
f(i) = i
→ Wendepunkt liegt bei ( 1 | ane ) vor

five. Schritt
Wurden schon die Extremwerte bestimmt, sollte der Wert 10 = ane bereits aufgefallen sein. An dieser Stelle ist zwar die notwendige Bedingung f ‚(10) = 0 für Extremwerte erfüllt, die hinreichende Bedingung f "(x) ≠ 0 jedoch nicht.
Falls direkt auf Wendepunkte geprüft wurde, sollte der x-Wert mit Hinblick auf potenzielle Stallelpunkte immer zusätzlich in dice 1. Ableitung eingesetzt werden.

f ´(ane) = iii·1² – 6·1 + three
f ´(1) = 0
→ Somit erfüllt ten = 1 die zusätzliche Bedingungf ´(ten) = 0 und es liegt ein Sattelpunkt vor.

Zusammengefasst muss für einen Sattelpunkt also gelten:

• f ‚(10) = 0
• f "(x) = 0
• f "'(ten) ≠ 0

Source: https://www.mathe-lerntipps.de/wendepunkte/

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